Nato a S. Giovanni Valdarno (Arezzo) il 14 giugno 1889. Laureato all'Università di Pisa nel 1910 in Giurisprudenza, con una tesi su La tutela giuridica del patrimonio artistico nazionale, frequentò dal 1911 al 1914 il corso di perfezionamento in Storia dell'Arte presso l'Università di Roma. Incaricato (1917) dell'insegnamento della Storia dell'Arte nell'Accademia di Belle Arti di Parma, Ispettore della Soprintendenza ai Monumenti delle Puglie e del Molise (1918-1919), poi dell'Umbria (1920-1921), infine della Soprintendenza alle Gallerie della Lombardia (1921-1927). Libero docente di Storia dell'Arte medievale e moderna dal 1923 e quindi Professore, in seguito a concorso, di Storia dell'Arte medievale e moderna nell'Università di Pisa (1917-1929), dove creò, come primo Titolare della cattedra, l'Istituto di Storia dell'Arte presso l'allora Museo Civico. Chiamato poi alla stessa cattedra nell'Università di Firenze (1929-1949), passò infine all'Università di Roma come Professore di Storia dell'Arte medievale (1949-1954) e di Storia dell'Arte moderna (1955-1959). Collocato fuori ruolo, dal 1964. È Emerito della stessa Università.
Medaglia d'oro dei Benemeriti della Scuola, della Cultura e dell'Arte, Dottore honoris causa dell'Università d'Algeri, già Vicepresidente del Consiglio Superiore delle Antichità e Belle Arti, Presidente dell'Istituto Nazionale di Studi sul Rinascimento, dell'Accademia Petrarca di Lettere Arti e Scienze, della Commissione Nazionale Vinciana, Presidente d'onore del Concorso Polifonico Internazionale, Socio Nazionale dell'Accademia dei Lincei, membro straniero dell'Istituto di Francia, Socio dell'Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, della Società Nazionale di Scienze Lettere ed Arti di Napoli, dell'Accademia Colombaria di Firenze, dell'Accademia di Lucca, ecc.
Direttore della rivista di critica e storia dell'arte Commentari; condirettore della rivista Rinascimento e già condirettore della Rivista d'Arteche ha cessato dal 1960 la pubblicazione.
L'opera scientifica del Salmi, svolta in rapporto prima con la sua attività di funzionario tecnico delle Antichità e Belle Arti, quindi col di lui magistero universitario, in un ampio arco di interessi, dal paleocristiano al barocco, ed estesa alla storia dell'architettura, della scultura, della pittura e delle arti minori, nell'ambito prevalentemente filologico spetta in parte alla esplorazione e all'attribuzione di opere ignote o mal note, specialmente in Toscana, in Puglia, in Umbria e in Lombardia. Ma soprattutto ha indagato sistematicamente determinati periodi artistici - come il Romanico e il Rinascimento - e in varie monografie ha tracciato la personalità di vari artisti ovvero ha, sotto ogni aspetto valido, illustrato monumenti insigni. Il suo metodo parte dalla filologia per giungere alla valutazione di ordine critico, entro l'ambito di una prospettiva storica.
Da ultimo il Salmi ha dedicato parte della sua attività alla tutela del patrimonio artistico italiano e sotto la di lui presidenza si sono tenute memorabili mostre a Firenze, Arezzo, Mantova e Roma.
(Testo tratto da Biografie e Bibliografie degli Accademici Lincei, A.N.L., Roma 1976)
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